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Algebra lineal, Definición y Estructura básica.
(resumen tomado de la hoja del programa Algebra lineal 1, Escuela de Matemáticas, Universidad Industrial de Santander UIS)
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia fenómenos de naturaleza lineal en muchas variables tales como los sistemas de ecuaciones lineales, introduciendo el lenguaje de las matrices y los vectores y conceptos estructurales como el de espacio vectorial y de transformación lineal. Su nacimiento se remonta a mediados del siglo XIX pero solamente en la segunda mitad del siglo XX se instala prácticamente en todos los currículos de las carreras de ciencias e ingeniería de todo el mundo al mismo nivel que el ya clásico cálculo diferencial e integral.
Hoy en día el álgebra lineal se maneja como una herramienta que es básica en casi todas las ramas de la matemática y otras disciplinas tales como la física, la ingeniería y la computación, entre otras.
Propósitos
Generales
- Propiciar en el estudiante el desarrollo de su capacidad para formalizar algebraicamente situaciones geométricas, de la ciencia y de la tecnología.
- Familiarizar al estudiante con los ejemplos básicos de las estructuras de espacio vectorial y del espacio vectorial euclidiano.
Específicos
- Dar herramientas básicas para el desarrollo de las matemáticas universitarias .
- Identi car lugares geométricos del espacio tridimensional (puntos, planos y rectas) con sistemas de ecuaciones lineales.
- Manejar el álgebra de matrices y su utilidad para la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
- Reconocer la función determinante como una generalización del concepto de área y volumen y utilizarla para el análisis de la consistencia de sistemas de ecuaciones lineales.
- Identi car fenómenos de naturaleza ideal y modelarlos algebraicamente.
Componentes
- Algorítmico: Es indispensable que el estudiante maneje ciertos algoritmos por ejemplo, el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales, algoritmos para calcular el determinante de una matriz, su inversa, además de manejar cierta operatoria, como el álgebra de matrices, las operaciones entre vectores de R n , etc.. Es de tener en cuenta y esto puede ser muy especí co de nuestro medio, que los estudiantes que recibimos en su mayoría, comprenden la matemática como una colección de algoritmos. Sin embargo, es indispensable no quedarse en el manejo de estos algoritmos ni exigir excesiva destreza en cálculos largos. Siempre el estudiante debe entender el porqué del algoritmo. Más importante que ejecutar determinado algoritmo puede ser describirlo.
- Argumentación: El curso comprende una buena cantidad de a rmaciones que además de su compresión, deben interrelacionarse por medio de argumentaciones que sin necesidad de ser excesivamente formales expliquen la naturaleza de estas a rmaciones. Por ejemplo, una vez el estudiante entiende el papel de la matriz idéntica entre matrices cuadradas del mismo orden, debe comprender qué signi ca ser la inversa y porqué la inversa del producto de dos matrices invertibles se comporta así y la demostración formal es conveniente, sencilla y útil. Debe relacionar esta inversa con los inversos multiplicativos de los números reales, y entender su diferencia. Se exige pues la compresión de las ideas y el dominio del lenguaje propicio para expresarlas.
- Geométrico: Se trata de mostrar elementos del álgebra lineal en R n y para ello es indispensable guiarse por lo que sucede en R 2 y R 3 , que son los casos visibles en donde la intuición funciona bien. Por otra parte cuando trabajamos R 2 , podemos hacer un puente con los posibles conocimientos que el estudiante debe traer de su geometría analítica. Hay que asombrar al estudiante mostrándole que, por ejemplo en R 5 , podemos hablar de triángulos rectángulos aunque no podamos visualizarlos.
- Computacional: Muchos textos incluyen ejercicios y rutinas para trabajar con paquetes computacionales. Es indudablemente útil introducir estas ayudas, sin embargo se debe tener cuidado pues algunas veces el manejo del paquete no es tan amigable y su uso hace que el estudiante pierda de vista los conceptos que se tratan de explorar. 2 Estos paquetes computacionales, (Matlab, Octave, Geogebra, Mathematica o Sage) pueden utilizarse como una manera de agilizar cálculos como ilustración de las muchas aplicaciones del álgebra lineal. El uso de estos paquetes es algo que a nivel mundial es experimental y sería muy bueno compartir experiencias al respecto.
Contenidos
A continuación se encuentran los contenidos indispensables para un curso completo de álgebra lineal, están tanto los temas indispensables (obligatorios) a tratar en el curso así como temas que pueden ser opcionales, definir qué tema es obligatorio o indispensable en gran parte es responsabilidad del coordinador de curso (profesor).
1. Introducción
a) Naturales e inducción, sumatoria.
b) Números complejos: operaciones, representación grá ca, raíces.
c) Campos Finitos.
2. Geometría Vectorial en Rn
a) Álgebra de vectores.
b) Longitud y ángulo: producto punto.
c) Rectas y planos.
d) Proyección ortogonal sobre rectas y planos.
3. Sistemas de ecuaciones lineales
a) Introducción: de nición de ecuación lineal, sistema de ecuaciones lineales y solución de un sistema de ecuaciones lineales.
b) Métodos directos (Gauss) para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
c) Métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
4. Álgebra de matrices y determinantes
a) Operaciones con matrices.
b) Inversa de una matriz.
c) Determinantes.
d) Factorización LU.
5. Valores y vectores propios
a) De niciones: valores y vectores propios y polinomio característico.
b) Espacios propios.
c) Matrices semejantes y diagonalización.
d) Aplicaciones.
6. Ortogonalidad
a) Ortogonalidad en R n .
b) Bases ortogonales.
c) Proceso de Gram-Schmidt y factorización QR.
d) Diagonalización ortogonal.
Nota: La anterior información fue tomada del resumen para el programa de algebra lineal 1, enlace del documento completo Aquí.
- Álgebra lineal Stanley I. Grossman 6th edición.
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- Álgebra lineal Larson y Falvo 6th edición.
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- Álgebra lineal Rocio Buitrago, Universidad Militar Nueva Granada.
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- Álgebra lineal y sus aplicaciones David C. Lay 3th edición.
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- Álgebra lineal y sus aplicaciones David C. Lay 4th edición.
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- Álgebra lineal una indroduccion moderna David Poole 3th edición.
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- Álgebra lineal Bernard Kolman 8th edición.
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